在有限元建模中，您可能会遇到力不随位移单调增加的公式。我们可以在许多包含材料退化的材料模型中看到这种行为。这种行为可以用负刚度表示。在这篇文章中稳定应力比，我们讨论了一些负刚度的例子，包括它所代表的物理背景和数值意义。这些想法不仅限于机械分析，尽管刚度起源于该领域。

负刚度的示例考虑承受压缩载荷的对称双杆结构，如下图所示。

两根杆承受压缩载荷。

假设杆是线弹性的，杆中的力 F 可以表示为

其中 Δ 是伸长率，L0 是杆的原始长度。根据勾股定理 (' )，我们可以将垂直力写成垂直位移的显式函数。

公式中有些量是无量纲的：力与位移的函数如下图所示。这个例子实际上展示了一个涉及突然跳跃的屈曲问题。A点和C点之间没有唯一解。在上一篇文章中，我们深入讨论了结构屈曲的概念。构件的压缩力增加，直到它们水平（

), 但垂直投影在 A 点之后下降得更快。

力是垂直位移的函数。

如果我们建立这种结构的有限元模型并尝试增加载荷，当第一个峰值到达点 A 时，分析可能会失败。但是，我们可以通过指定载荷点的垂直位移而不是力。然后，可以得到施加的力作为反作用力。上图就是这样制作的。这个单自由度系统的切向刚度被定义为力相对于位移的变化率。

因此，A 点和 B 点之间的刚度为负。负刚度通常与数值和物理不稳定性有关。

刚度是垂直位移的函数。

软化材料中的负刚度 在固体力学领域，一些材料模型有意或通过选择某些参数包含应力-应变曲线的负斜率。例如稳定应力比，一些混凝土模型就是这样设计的。这种行为的物理解释是当材料模型被拉伸时会形成裂纹。试样所承载的载荷将随之降低。? 描述剥离内聚模型的软件也显示了这种行为。

应变软化材料。

在材料层面，应力随着应变的增加而不断减小，表明刚度为负。

这种材料只能在规定的位移条件下进行测试；否则，它会在达到峰值负载时立即失效。因此，负刚度与材料的不稳定性有关。通常，应力和应变状态是多轴的。应力和应变由二阶张量表示。在多轴情况下，我们必须使用更通用的材料稳定性准则。对于应变状态的任何微小变化，相应的应力状态变化必须使所有应力和应变分量的乘积之和为正。也就是说

或者，将其写在组件中。

这称为德鲁克稳定性准则 ('s) 或希尔稳定性准则 (Hill's)。有限元分析中使用的离散形式意味着与应力增量和应变增量相关的本构矩阵必须是正定的，以使材料稳定。对于非线性材料，这种情况通常计算量很大。对于线性弹性材料，这个要求直接转化为众所周知的

和

. 我们有时需要使用不符合稳定性标准的材料模型，如何处理？事实上，材料可能局部不稳定，而结构本身保持稳定。为了理解这种行为，我们可以将结构中的材料想象成相互连接的弹簧。有些弹簧是纯弹性的，代表未损坏的材料，其中一个会失效。考虑下图中的三弹簧系统。

三重弹簧系统。失效弹簧的伸长率用 u1 表示。

弹簧 k1 代表具有损坏模型的材料，而其他两个弹簧是纯弹性的。第一个弹簧的材料模型是双线性的。

非线性弹簧的材料模型。在位移 um 时达到峰值力 Fm。

下支的受力与伤害无关：

由于两个弹簧串联，上支在达到峰值载荷之前的力

当上支的力为

损坏开始于 ; 也就是说，当外部位移为：

对应的外力为

在失效期间，损坏弹簧的力可以写为

. 同样的力也通过弹簧 2，所以

. 这两个关系决定了 u1 是外位移的函数：

为了给出一个合理的解决方案，当外部位移增加时，u1 必须增加。因此，有必要制作

. 这个标志实际上是一个很常见的结果。力（或压力）的快速下降比缓慢下降更容易导致不稳定。最后，我们可以推导出下降阶段总外力与位移的关系：

因此，当外部位移增加时，外力可以增加或减少，这取决于两个分支的相对刚度。因此，这个简单的模型可以预测两种类型的不稳定性。在这两种情况下，损伤模型中力的缓慢下降都是有益的。也就是说，周围的环境越僵硬，整个系统就越有可能稳定下来。

一个全球稳定的系统。

由于下分支的刚度太小而无法保持稳定的系统。

实际上，我们不能自由选择力和刚度。材料模型中三角形力-位移曲线下方的面积表示过程中耗散的能量。最终失效时的能量耗散和位移（或应变）具有物理意义。能量平衡的解释 当结构的受损部分承受的力减小时，它会伸长。如果外部位移保持不变，则结构的弹性部分必须收缩以进行补偿。这意味着弹性能量被释放。吸收能量的唯一方法是对损坏的部分做功。对于一定的增量位移

，如果弹性部分释放的能量大于裂纹部分产生相同位移所需的功，则状态不稳定。几年前，我在斯德哥尔摩 KTH 皇家理工学院固体力学系的一位朋友使用极长的三点弯曲试样对韧性钢中裂纹的稳定性进行了一些有趣的实验。这些测试强调裂纹稳定性不仅是局部应力状态的函数，而且是测试样本中存储的能量驱动裂纹伸长的能力。实验中最长的试件长达26米，占据了很大一部分实验室空间！这个实验发表在《超长弯道的The of very long bend》一文中。均匀应力状态 对于软化材料模型，如果应力状态是均匀的，则很难在有限元模型中实现收敛。在物理材料中，强度并没有完全均匀的分布。当载荷增加时，即使应力状态均匀，也会在强度最低的位置形成裂纹。发生这种情况时，周围的材料会失去其负载。以下面三个由两层胶层连接的弹性块为例：

实际上，其中一层胶层会先于另一层失效。当通过组件的力减小时，将去除更坚固的层。我们无法预测哪一层会失效，因为这是由制造误差决定的。然而，在数学模型中，两层同时失效。在数值上，迭代可能不会收敛，因为疲劳在两层之间来回跳动。在有限元模型中，计算每个元素内每个积分点的应力。当载荷增加到最大值以上时，疲劳甚至可能在单元之间或同一单元内的积分点之间跳跃（如果应力在所有地方都相同）。这种行为意味着如果我们实现自己的材料模型，包括应变软化，我们应该使用单个一阶单元并在指定的位移下对其进行测试。这样，我们就可以保证一个统一的指定应变场和应力在单元中处处相同。一个这样的例子是 Mazar 的损坏模型，我们在之前的文章“”中介绍过它。如果我们将这个模型中的单元形函数改为二次函数，计算将不再收敛。这是否意味着损坏模型毫无意义？完全没有。但是，我们必须注意避免不确定状态。如果结构及其边界条件是对称的，则必须采用这种对称性以避免不确定状态。我们通常可以使用轴对称模型来解决轴对称问题，这对于 3D 实体扇区可能是不可能的。另一种方法是允许对材料数据进行轻微的随机空间扰动。这种方法实际上模仿了自然界，其中强度值是随机分布的。此外，缓慢增加负载很重要，以避免大部分结构同时切换失效。剪切带 在某些材料模型中，例如，在塑性土壤中，会出现具有高剪切应变的强网格相关薄层。这些层称为剪切带。当屈服开始时，周围的元素甚至积分点都会被卸载。第一个屈服的单元继续累积塑性应变。有趣的是，这种类型的不稳定性实际上可以在真实土壤中看到，而不仅仅是数值模型中的假象。就像在自然界中一样，我们无法预测模型中剪切带的确切位置和分布。 ? 正如文章开头的例子中提到的，使用指定位移代替指定力是稳定数值问题的好方法。但是，这种方法基本上仅限于我们可以采用更通用的方法来解决不稳定点之后的问题的情况。在这种方法中，首先定义一个已知单调增加的任意量，然后添加一个额外的方程来求解指定载荷或位移的相应值。为了演示这种技术，（让我们在原始示例中添加一个弹簧）这样可以通过指定弹簧末端的变形来施加负载。如果弹簧很硬，

通过弹簧加载杆系统。

如果弹簧较软，系统可能会变得不稳定，因为弹簧会释放过多的能量。阈值为

这是杆组件的最大“负刚度”，发生在杆水平时。改变弹簧刚度时，点 1 处的力与位移之间的关系如下所示。弹簧刚度的公式为

其中系数 β 从相当坚硬的弹簧变化到低于临界值的值。

当您改变弹簧刚度时，力是点 1 处位移的函数。

对于小于 1 的 β 值，当弹簧刚度等于杆组件的“负”刚度时，求解失败。如果改为使用指定的力，则所有解决方案都会在第一个峰值负载时失败。通过使用指定的位移，可以继续进行进一步的分析。对于较低的弹簧刚度值，我们仍然受到内部不稳定导致故障的状态的限制。我们要跟踪的解在点 2 处有一个单调的垂直位移，但直接指定它是不可能的，因为这会从根本上改变问题。相反，我们添加一个方程式并说“设置点 1 处的弹簧末端位移，以便点 2 处的监测位移具有指定值。” 为此，我们需要添加一个 节点，我们在其中添加一个新的未知变量。

全局变量的定义

确定该值的方程表明 -delta = 0。变量 delta 是在稳态研究步骤中增加的单调参数，并且是包含点 2 处位移的当前值的变量。

将 delta 用作辅助扫描参数的研究步骤设置。

求解后，点 2 的位移将匹配辅助扫描中指定的增量值列表。

点 1 处指定位移的设置。

通过这种修改，可以通过不稳定性跟踪解决方案。从下图可以看出，使用这种方法甚至可以绕过强烈的不稳定性。

在使用全局方程稳定节点后，当改变弹簧刚度时，力是点 1 处位移的函数。