第 9 章 梁的强度和刚度计算 梁截面正应力 第 1 截面 梁截面 剪应力 第 2 截面 梁强度计算 弯曲中心梁 变形和刚度计算 应力状态和强度 理论应力状态和强度理论 第 3 节 第 4 节第5节总结 返回第6节第7章梁的强度和刚度计算梁的一般情况是在横截面上有剪切力和弯矩两个内力，称为剪切力（横向力）弯曲. 相应截面上任一点都有剪应力τ和正应力σ。而剪应力τ只与剪力Q有关，法向应力σ只与弯矩M有关。横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲称为纯弯曲。如图所示简支梁为简支梁，AC、DB截面为横向受力弯曲；CD部分是纯弯曲。ACDB段横穿本章研究梁的应力变形计算，解决梁的强度和刚度计算问题。返回下一个之前的总结 第一段梁截面上的正应力是推导的梁截面上的正应力，考虑纯弯曲情况。采用三关系法：实验观察→平面假设；几何关系→变形规律、物理关系→应力规律、静力关系→应力公式。1. 实验观察分析：①水平线仍为直线，但倾角为dθ；② 垂直线由直线变为曲线，仍与水平线正交，凸边拉长，凹边缩短；③ 横截面相对于纵向延伸长的区域被缩短，而纵向缩短的区域被拉长。假设：①平面假设——变形前后截面不变；② 单向力假设——纵向纤维不相互挤压，只是伸长或缩短。凹边缩短；③ 横截面相对于纵向延伸长的区域被缩短，而纵向缩短的区域被拉长。假设：①平面假设——变形前后截面不变；② 单向力假设——纵向纤维不相互挤压，只是伸长或缩短。凹边缩短；③ 横截面相对于纵向延伸长的区域被缩短，而纵向缩短的区域被拉长。假设：①平面假设——变形前后截面不变；② 单向力假设——纵向纤维不相互挤压，只是伸长或缩短。

中性层 - 恒定长度的纤维层；中性轴 - 中性层和横截面的交点。返回下一个之前的总结 2. 法向应力公式的推导： (1) 变形几何关系：取梁微段dx考虑变形几何关系，得到应变规律： ;ρθdρθε==Δ=∴当M>0：y>0，ε>0，为张力区；y<0,ε<0, 是压缩区。(2) 物理关系：由假设2和胡克定律，梁横向通过假设2和胡克定律，梁截面上的法向应力变化规律为： εE = εE =σσyEE==ρ 这个公式表明：梁截面 任意一点的法向应力与该点距中性轴（z 轴）的距离 y 成正比，与该点到y轴的距离z无关。正应力沿截面高度呈直线分布。在中性层，y=0，σ=0；上下边缘都有ymax，所以有σmax。回到下一个之前的总结 （3）静力关系：纯弯梁上各点只有法向应力，微区dA上的法向合力dN=σdA。横截面上的每个微内力沿 X 轴形成一个空间平行的力系统。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。正应力沿截面高度呈直线分布。在中性层，y=0，σ=0；上下边缘都有ymax，所以有σmax。回到下一个之前的总结 （3）静力关系：纯弯梁上各点只有法向应力，微区dA上的法向合力dN=σdA。横截面上的每个微内力沿 X 轴形成一个空间平行的力系统。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。正应力沿截面高度呈直线分布。在中性层，y=0，σ=0；上下边缘都有ymax，所以有σmax。回到下一个之前的总结 （3）静力关系：纯弯梁上各点只有法向应力，微区dA上的法向合力dN=σdA。横截面上的每个微内力沿 X 轴形成一个空间平行的力系统。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。回到下一个之前的总结 （3）静力关系：纯弯梁上各点只有法向应力，微区dA上的法向合力dN=σdA。横截面上的每个微内力沿 X 轴形成一个空间平行的力系统。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。回到下一个之前的总结 （3）静力关系：纯弯梁上各点只有法向应力，微区dA上的法向合力dN=σdA。横截面上的每个微内力沿 X 轴形成一个空间平行的力系统。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。它可以简化为三个内力分量：Nx、My、Mz。00=Α?Α?=Α?Α=ydEρdNσ??Α??ΑEEρ—中性轴 Z 必须通过质心。; 00=?==σMy?=?Α?=?Α=MdAyEρMdAyσΙ=∴σ—中性轴是截面的质心主轴。

式中：Iz——截面绕中性轴的转动惯量；y——法向应力点到中性轴的距离。为了避免符号错误，计算中的每个量都用绝对值代替，直接根据点所在区域判断σ符号。（根据弯矩方向，中性轴将截面分为受拉区和受压区；M>0，上下；M<0，上下。）I截面的转动惯量绕其中性轴 MM——截面上的弯矩；截面上的弯矩——纯弯梁截面上任一点正应力的计算公式；1zEMΙ=ρ——纯弯曲梁的变形计算公式 返回下一个之前的总结 法向应力公式的使用范围： ①纯弯曲梁；② 弹性范围（σ≤σp）；③ 平面弯曲（截面有对称轴，形状不限）；④细长梁的横向力弯曲。（一般l/h>5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ<5%。）例7-1为悬臂梁。求截面 C 上点 a 和 b 处的法向应力和截面的最大拉压应力。解：（1）计算C型截面弯矩??=×?=?=35 。122 （2）确定中性轴位置并计算转动惯量 （3）求a、b点的法向应力Ma=σ=×==Ι；09．310××-。=×3××=Ι.3；==-=。;54。-=×××-=I=-σ;===;63. ? ??+?σ==××××=Ι=σ(4)求C截面（截面上下边缘处）的最大拉应力σ+max和最大压应力σ-max。

) 返回上一个总结 例 7-2 由 18 号工字梁制成的简支梁如图所示。求D截面上a、b点的法向应力 解法：（1）求D截面的弯矩：MD=30kN.m （2）确定中性轴的位置 （2）确定中性轴的位置截面轴和惯性矩：查截面钢表 IZ=;;3 .797 .= ?==(3) 求D截面a、b点的法向应力： ;3 .143;3 。 143? .79×==×××?=Ι=??σσ返回下一个前面的总结第2节梁截面上的剪应力 1.矩形截面梁：矩形截面梁的任何截面上的剪力Q与对称轴。对于长而窄的横截面的剪应力分布规律，可以做出两个假设：(1) 截面上各点τ同向且平行于曲面上的Q；(2) 剪应力沿横截面宽度均匀分布。从光束微截面取窄带cdmn分析：''bdx;;211*σ+===?τ=;=∴τ;,τ,; 0, 0''21ττ====??=?; 返回到下一个上一个摘要。矩形截面剪应力计算公式： 式中：Q——截面上的剪力；Iz——横截面绕其中性轴的转动惯量；b——剪切应力作用点的截面宽度；横截面积 A* 低于（或高于）Sz 绕中性轴的面积力矩。从光束微截面取窄带cdmn分析：''bdx;;211*σ+===?τ=;=∴τ;,τ,; 0, 0''21ττ====??=?; 返回到下一个上一个摘要。矩形截面剪应力计算公式： 式中：Q——截面上的剪力；Iz——横截面绕其中性轴的转动惯量；b——剪切应力作用点的截面宽度；横截面积 A* 低于（或高于）Sz 绕中性轴的面积力矩。从光束微截面取窄带cdmn分析：''bdx;;211*σ+===?τ=;=∴τ;,τ,; 0, 0''21ττ====??=?; 返回到下一个上一个摘要。矩形截面剪应力计算公式： 式中：Q——截面上的剪力；Iz——横截面绕其中性轴的转动惯量；b——剪切应力作用点的截面宽度；横截面积 A* 低于（或高于）Sz 绕中性轴的面积力矩。b——剪切应力作用点的截面宽度；横截面积 A* 低于（或高于）Sz 绕中性轴的面积力矩。b——剪切应力作用点的截面宽度；横截面积 A* 低于（或高于）Sz 绕中性轴的面积力矩。

*=τ*——剪应力作用点的横线为矩形截面：);4(22,222 /h11*?====??);4(6bh)4(?=?=∴ τ,= τ 沿截面高度呈抛物线变化。hy±=2;;, 0; 0,τ,hyy====τ,;y;ττ==∴AQ 平均剪应力）（-τ 由剪力决定胡克定律τ=Gγ，已知剪应变沿截面高度也按抛物线规律变化，导致截面翘曲。但变形很小，可以忽略不计。返回下一个之前的总结2 . 其他截面形状的剪应力： 1. 工程异形截面梁：工字截面由上下翼缘和中间腹板组成。 1）腹板上的剪应力：腹板为狭长矩形，它承受截面的大部分剪应力。所以，中性轴处存在最大剪应力 QSmax≈τ 或 dzΙQh1 式中： Q——截面上的剪力；Iz——截面对 z 轴的惯性矩；Szmax——中性轴一侧区域对中性轴的转动惯量；（对于型钢，Szmax：Iz的值可以从型钢表中确定） 2）法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。垂直分量很大 2) 法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。Iz的值可以从型钢表中确定） 2）法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。垂直分量很大 2) 法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。Iz的值可以从型钢表中确定） 2）法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。垂直分量很大 2) 法兰上的剪应力：法兰上的剪应力情况比较复杂。

垂直分量小，分布复杂，一般不考虑；认为水平分量沿翼缘厚度均匀分布，计算公式与矩形截面相同，其方向与竖向剪应力方向之间存在“剪应力流动”规律。h1——腹板高度；d——腹板厚度；dQQSz=τozδzIQSτ=水平Sz——所需应力点和法兰边缘之间的面积与绕中性轴的转动惯量；δo——法兰厚度。回到下一个之前的总结 2、T型截面：T型截面与I型截面类似，最大剪应力仍然出现在截面的中性轴上。网络压力如下：所有开口薄壁截面的剪应力均符合“剪应力流动”规律。交点*=τ3。圆形和环形截面：圆形和薄壁环形截面的最大垂直剪应力也出现在中性轴上，也出现在沿中性轴的中性轴上。轴分布均匀，其值为：4 Q3圆形截面薄壁环形截面=τ=τ 其中：Q——A1截面上的剪切力，A2——圆形、薄壁的面积环形截面 返回下一张 小结 例7-3：截面为矩形的简支梁如图所示，已知：l=2m，h=15cm，b=10cm，h1=3cm，q =3kN/m。试求A支座截面K点处的剪应力和该截面的最大剪应力。解决方法：1。求剪力：QA==Ι3333*。55. 4×012Α=×===×=。10×2364×=××××=Ι=τ2，求K点处的剪应力： . . 15 . 1=23max=××××=τ3，求最大剪应力：返回下一个前面的总结例7-4 倒T形截面悬挑梁如图，已知：l=600mm，b=30mm , P1=24kN, P2=9kN, y1=72mm, Iz=, 试求梁截面上的最大剪应力。

横向解法： 1、求最大剪力：Qmax=15kN，在CB梁截面。1*yASoz=?=;=××=2 求最大剪应力 2.求最大剪应力：?Qzz79。634×10×=××=?=τ在中性轴上。返回下一个上一个总结第三节梁强度计算为保证梁在外力作用下能安全正常工作，必须限制梁内的最大应力不超过材料的许用应力。从而建立梁的强度条件，进行梁的强度计算。危险段——最大应力点所在的段；（等直梁为最大内力截面） 危险点 1 危险截面上的最大应力作用点。梁的正应力强度条件：等直梁的危险截面的危险点为最大弯矩截面上、下边缘的点。MI 危险点——危险部分的最大应力作用点。;=?=σ各种型钢查询表各种型钢查询表。截面圆形 圆形截面：截面矩形截面：截面形状能力；单位： , 反映截面抗弯曲变形的能力 3πD32 弯曲截面系数（模量）.,ππ;=设环形截面:);1 (;;6α? π === 确定。弯曲许用应力，查表精度条件：对称截面梁的正应力] [σσ≤=zWM 定。等直梁危险断面的危险点为最大弯矩断面的上下边缘点。MI 危险点——危险部分的最大应力作用点。;=?=σ各种型钢查询表各种型钢查询表。截面圆形 圆形截面：截面矩形截面：截面形状能力；单位： , 反映截面抗弯曲变形的能力 3πD32 弯曲截面系数（模量）.,ππ;=设环形截面:);1 (;;6α? π === 确定。弯曲许用应力，查表精度条件：对称截面梁的正应力] [σσ≤=zWM 定。等直梁危险断面的危险点为最大弯矩断面的上下边缘点。MI 危险点——危险部分的最大应力作用点。;=?=σ各种型钢查询表各种型钢查询表。截面圆形 圆形截面：截面矩形截面：截面形状能力；单位： , 反映截面抗弯曲变形的能力 3πD32 弯曲截面系数（模量）.,ππ;=设环形截面:);1 (;;6α? π === 确定。弯曲许用应力，查表精度条件：对称截面梁的正应力] [σσ≤=zWM 定。=?=σ各种型钢查询表各种型钢查询表。截面圆形 圆形截面：截面矩形截面：截面形状能力；单位： , 反映截面抗弯曲变形的能力 3πD32 弯曲截面系数（模量）.,ππ;=设环形截面:);1 (;;6α? π === 确定。弯曲许用应力，查表精度条件：对称截面梁的正应力] [σσ≤=zWM 定。=?=σ各种型钢查询表各种型钢查询表。截面圆形 圆形截面：截面矩形截面：截面形状能力；单位： , 反映截面抗弯曲变形的能力 3πD32 弯曲截面系数（模量）.,ππ;=设环形截面:);1 (;;6α? π === 确定。弯曲许用应力，查表精度条件：对称截面梁的正应力] [σσ≤=zWM 定。

弯曲许用应力，具体强度条件查表：非对称截面梁的法向应力__max±zmax][σ±±≤=σWM 返回下一个总结 2、剪应力强度条件：经检验确认。材料的许用剪应力，试__max][ττ≤=AQk。各种型材查表或环型截面：圆形截面：矩形截面：）（1；2；34；≈====τ 3.梁的强度计算：一般细长梁多为弯曲当横截面上有弯矩时，细长梁大多受横向力弯曲，且横截面上同时存在弯矩和剪力，正应力的强度条件和同时满足剪应力计算： (1) 强度校核：

解法：（1）画梁的弯矩图，可知：MC=3.0KN.m；MD=-4.8KN.mCD (2)梁的两个弯曲段的模量为：7631y；7.868.8763；7.1462.==Ι===Ι=(3) C型截面正应力强度校核： (4) D型截面正应力强度校核 (4) D型截面正应力强度校核： (5) 出现最大拉应力在 C 截面的下边缘，最大压应力出现在 D 截面的下边缘。为枕木选择一个矩形截面。已知矩形截面尺寸之比为b:h=3:4，轨枕的许用弯曲法向应力[σ]=15.6MPa，许用剪应力[τ]=1.7MPa，钢轨传递的压力到卧铺P=49KN。解决方法：（1）根据法向应力强度条件设计截面尺寸。15×σ?= 8 。9 最大 [ ] 。?????=×==,18;9.12,2.17628;==?== ?=∴=? ???==(2)检查剪应力强度 (3)根据剪应力重新设计截面强度条件并返回下一个。在集中力P的作用下，已知a=25cm，l=100cm，梁由2.6工字钢制成，材料的弯曲许用正应力[σ]=，许用剪应力[τ]=，试求该梁的许用载荷[P]。解决方法：查表得到： (1)根据法向应力强度条件确定[P] (2)检查剪应力强度 该梁的许用载荷[P]=52.7kN 返回下一个上一章总结四、合理的横梁截面：横梁的设计应符合安全、经济的要求。==?== ?=∴=? ???==（2）检查剪应力强度（3）根据剪应力强度条件重新设计截面，返回下一个。在集中力P的作用下，已知a=25cm，l=100cm，梁由2.6工字钢制成，材料的弯曲许用正应力[σ]=，许用剪应力[τ]=，试求该梁的许用载荷[P]。解决方法：查表得到： (1)根据法向应力强度条件确定[P] (2)检查剪应力强度 该梁的许用载荷[P]=52.7kN 返回下一个上一章总结四、合理的横梁截面：横梁的设计应符合安全、经济的要求。==?== ?=∴=? ???==（2）检查剪应力强度（3）根据剪应力强度条件重新设计截面，返回下一个。在集中力P的作用下，已知a=25cm，l=100cm，梁由2.6工字钢制成，材料的弯曲许用正应力[σ]=，许用剪应力[τ]=，试求该梁的许用载荷[P]。解决方法：查表得到： (1)根据法向应力强度条件确定[P] (2)检查剪应力强度 该梁的许用载荷[P]=52.7kN 返回下一个上一章总结四、合理的横梁截面：横梁的设计应符合安全、经济的要求。在集中力P的作用下，已知a=25cm，l=100cm，梁由2.6工字钢制成，材料的弯曲许用正应力[σ]=，许用剪应力[τ]=，试求该梁的许用载荷[P]。解决方法：查表得到： (1)根据法向应力强度条件确定[P] (2)检查剪应力强度 该梁的许用载荷[P]=52.7kN 返回下一个上一章总结四、合理的横梁截面：横梁的设计应符合安全、经济的要求。在集中力P的作用下，已知a=25cm，l=100cm，梁由2.6工字钢制成，材料的弯曲许用正应力[σ]=，许用剪应力[τ]=梁刚度计算公式，试求该梁的许用载荷[P]。解决方法：查表得到： (1)根据法向应力强度条件确定[P] (2)检查剪应力强度 该梁的许用载荷[P]=52.7kN 返回下一个上一章总结四、合理的横梁截面：横梁的设计应符合安全、经济的要求。

即保证横梁有足够的强度安全工作；并充分发挥材料的作用，节约材料。可见：与强度相关的材料特性[σ]应尽可能大；由载荷和结构决定的Mmax应尽可能小；而要提高梁的抗弯强度，主要出发点是增加Wz，即选择合理的截面形式，使Wz/A值尽可能大。① A相同时，截面高度应尽量大；② 将截面边缘的大部分区域布置在离中性轴较远的地方，增大 Wz/A 的值；Wz/A=(0.27-0.31)h>0.167h>0.125h；（工字形>矩形> 圆） ③ 使截面两侧 ③ 使截面两侧同时达到许用应力；④综合考虑梁的相关刚度、稳定性、使用要求和制造工艺。例如，过分强调h值的增加，可能导致断面横向不稳定；木梁不需要人工和圆截面，避免增加加工成本等。zz 返回下一个上一个总结第四节弯曲中心的概念当外力作用在梁的纵向对称平面上时，梁产生平面弯曲。但是当截面没有纵向对称轴时，沿质心主轴作用的载荷不会产生平面弯曲。如开槽截面所示，P力使梁弯曲；

如果梁只在平面内弯曲，P 必须作用在通过弯曲中心的纵向平面上。弯曲中心 梁仅平弯时弯曲中心 - 当梁仅平弯时外力作用在截面上的位置。外力作用在截面上的位置在截面的任何形状中都有一个弯曲中心。弯曲中心的位置与梁上的载荷无关，而仅取决于截面的几何形状。可以证明弯曲中心位于①截面的对称轴上；②中线的交点；③与质心重合。钢截面的弯曲中心可以在相关图表中找到。返回下一个上一个摘要第 5 节梁的变形和刚度计算 1. 挠度和转角 1、梁的挠度曲线（弹性曲线）——弯曲后梁的轴线为光滑平面曲线。2.挠度y——梁截面质心在垂直杆轴方向的线性位移，称为截面挠度，用y表示，向下为正。（忽略水平方向的直线位移） 单位：mm.3。旋转角θ——梁截面绕中性轴旋转的角度，称为截面的旋转角，用θ表示，顺时针方向为正。单位：弧度。梁的挠度方程（挠度曲线方程）： y=f(x)yf( )'==≈θθ 梁的转角方程：只要确定梁的挠度曲线方程，任何横截面的偏转角和旋转角都可以由此计算出来。因此，求梁变形的关键是求其挠度曲线方程。2、梁的挠度曲线的近似微分方程忽略了剪力对梁变形的影响梁刚度计算公式，那么工程中常用的细长梁的变形；可以得到ρρ=1(;)(),)((;])(1[)/yx=±±≈+±=的变形公式：研究了小弹性变形的影响，曲率公式为忽略该点，考虑数学中的曲线 上述ρ由所选坐标系确定，M的符号由所选坐标系和符号指定，公式中取负号。