第 9 章 梁的强度和刚度计算 梁截面上的正应力 梁截面上的剪应力 梁的强度计算 弯曲中心的概念 梁的变形和刚度计算 梁的应力状态和强度理论总结 第 7 章 梁的强度和强度 刚度计算 本本章研究了梁的应力和变形计算，解决了梁的强度和刚度计算问题。第一节梁截面正应力 1. 实验观察与分析： 梁截面第二节剪应力 1. 矩形截面梁： 第三节梁的强度计算 四- 概念截面弯曲中心 当外力作用在梁的纵向对称面上时，梁产生平面弯曲。然而，当截面没有纵向对称轴时，沿质心主轴作用的载荷不会产生平面弯曲。第5节梁变形和刚度计算5.梁刚度校核第6节应力状态和强度理论1.应力状态概念总结3.梁应力：2.平面应力状态分析-解析方法1.平面应力状态任意截面应力计算公式：符号规定：σ——拉力为正；τ——顺时针为正；α——逆时针为正。返回下一个之前的总结 用斜截面（面积为dA）与截面截取楔形，可通过简化三角公式得到：同理，由∑Fy=0，可得到：2。主要应力，主平面和主剪应力可以通过公式（a）和（b）来确定应力的极值及其作用面的方向。返回下一个之前的总结 3.平面应力状态分析——将式（a）和（b）中的应力圆方程图形化排列： 2.对应关系：①单元体表面应力值←→单元的坐标应力圆上的点；② 素体上角 ←→ 同转 2 ? 应力圆上的角度；③ 元体起始面x平面←→应力圆起始点C。平面应力状态分析——将式(a)和(b)中的应力圆方程图形化排列： 2、对应关系：①单元体表面应力值←→应力圆上点坐标；② 素体上角 ←→ 同转 2 ? 应力圆上的角度；③ 元体起始面x平面←→应力圆起始点C。平面应力状态分析——将式(a)和(b)中的应力圆方程图形化排列： 2、对应关系：①单元体表面应力值←→应力圆上点坐标；② 素体上角 ←→ 同转 2 ? 应力圆上的角度；③ 元体起始面x平面←→应力圆起始点C。

1、应力圆的绘制方法： ①取坐标系σoτ；返回下一个小结 ④ 做一个圆：以 D 为圆心，以 DC（DC'）为半径做一个圆。③确定中心D：在D点将C、C'连接到σ轴；②确定特征点C、C'：按比例测量σx、σy、τx、τy；3、用应力圆求解斜截面上的应力： 4、用应力圆求主应力和主平面：从应力圆上按比例测量B1、B2点的坐标，即主应力σ1、σ2 ; 测量中心角 2α1 以确定主平面（或将其用作绘图方法）。返回到下一个上一个摘要。从C点转动测量2α的圆心角，并固定E点。E点坐标（OE'，E'E）为σα，τα 根据比例。返回下一个前面的总结 5. 使用应力圆求主剪应力： 从应力圆上按比例测量 G1 和 G2 点的纵坐标，即 τmax 和 τmin。并且由图上的几何关系可知：由图可知，主剪应力面上的法向应力值不为零。G1和G2的横坐标与圆心相同。应力圆上的任意一点代表相应的应力条件。利用同一圆弧的圆周角为圆心角一半的几何关系、任意斜截面的方位、主平面、主剪应力作用面的方位等，可以通过主点K和对应点E、B1、B2、G1、G2等确定连接方向的直观表示。返回到下一个之前的总结 IV。三向应力圆：最大剪应力作用面垂直于?3主平面，与?1、?2主平面夹角450°。

从空间应力状态的主体单元分别画出三个主要方向的平面应力圆，即可得到三方向应力圆。三维应力圆中的最大剪应力对应于B点的纵坐标：三维应力状态下的最大正应力为?1，最小正应力为?3。等号是三维应力圆退化为平面应力圆或点圆。返回下一个之前的总结 V. 双向和三向应力状态的胡克定律： 弹性范围内处于单向应力状态的材料的胡克定律： ? 双向应力状态的胡克定律：主应变——在三个主应力的作用下，沿三个主应力方向的单元法向应变分别用 ?1、?2、?3 表示。主应变也相关： 一般平面应力情况： 三维应力状态的胡克定律：（各向同性材料的广义胡克定律） 返回上一个摘要* * 第 1 节 第 2 节 第 3 节 第 4 节 第 5 节 第 5 节 返回第 1 节6 梁的一般情况是横截面上同时存在剪力和弯矩两个内力，称为剪力（横向力）弯曲。相应截面上任一点都有剪应力τ和正应力σ。而剪应力τ只与剪力Q有关，法向应力σ只与弯矩M有关。横截面上只有弯矩而没有剪力的弯曲称为纯弯曲。如图简支梁，AC和DB截面为横向受力弯曲；CD部分是纯弯曲的。返回上一页。总结是在考虑纯弯曲情况下推导梁横截面上的正应力。使用三关系法：实验观察→平面假设；几何关系→变形规律、物理关系→应力规律、静力关系→应力公式。使用三关系法：实验观察→平面假设；几何关系→变形规律、物理关系→应力规律、静力关系→应力公式。使用三关系法：实验观察→平面假设；几何关系→变形规律、物理关系→应力规律、静力关系→应力公式。

①水平线仍为直线，但倾角为d?；②竖线由直线变为曲线，仍与水平线正交，凸边拉长，凹边缩短；③横截面相对于纵向拉长的区域被缩短，纵向被缩短的区域被拉长。假设：①平面假设——变形前后截面保持同一平面；中性层——恒定长度的纤维层；中性轴——中性层与横截面的交点。②假设单向力——纵向纤维不相互挤压，而只是拉长或缩短。返回下一个之前的总结 2. 法向应力公式的推导： (1) 变形几何关系：取梁微段dx，考虑变形几何关系，得到应变规律：当M>0时：y>0，ε>0，为受拉区；y0，上下按；M5为细长梁，其计算误差满足工程精度要求δ0.167h>0.125h；（工字形>矩形>圆形） ③同时使截面两侧的许用应力；④综合考虑梁刚度、稳定性、使用要求和制造工艺等因素。例如，过分强调h值的增加，可能导致断面横向不稳定；木梁不需人工，截面为圆形，避免增加加工成本。回到下一个前面的总结 如开槽部分所示，P力使梁弯曲；截面上的剪应力流动形成扭矩（腹板上的剪力Q'和翼缘上的T可以发现作用在A点的合力Q、Q和P形成扭矩）扭转梁；梁产生弯曲和扭曲变形的组合。如果梁只在平面内弯曲，P 必须作用在通过弯曲中心的纵向平面上。弯曲中心存在于截面的任何形状中。

弯曲中心的位置与梁所承受的载荷无关，而仅取决于截面的几何形状。可以证明，弯曲中心位于①截面对称轴上；②中线的交点；③与质心重合。钢截面的弯曲中心可以在相关图表中找到。弯曲中心 - 当梁仅在平面中弯曲时外力作用在截面上的位置。返回下一个之前的总结 1.挠度和旋转角度 1.梁的挠度曲线（弹性曲线）——梁弯曲后的轴线，是一条光滑的平面曲线。2.挠度y——梁截面质心在垂直杆轴方向上的线性位移，称为截面挠度，用y表示，向下为正。（忽略水平方向的直线位移） 3、旋转角θ——梁截面绕中性轴旋转的角度，称为截面的旋转角，用θ表示，顺时针为正。单位：弧度。梁的挠度方程（挠度曲线方程）：y=f(x) 梁的转角方程：只要确定了梁的挠度曲线方程，就可以计算出任意截面的挠度和转角。因此，求梁变形的关键是求其挠度曲线方程。单位：毫米。回到下一个之前的总结 2.梁的挠度曲线的近似微分方程忽略了剪力对梁变形的影响，而工程中常用的细长梁的变形量是由所选择的坐标系和符号M决定的。指定式中取减号。然后得到梁的挠度曲线的近似微分方程： 返回下一个之前的总结 3. 用积分法计算梁的位移 悬臂梁：在计算梁的位移时，积分的近似微分方程挠度曲线一次得到旋转角方程，并积分两个得到第二个挠度方程，这种方法称为积分法。

对于均质材料的等截面直梁，EIz 是一个常数。再积分一次得到转角方程： 二次积分得到挠度方程： 式中积分常数 C 和 D 由边界条件（梁中已知截面位移）确定： 对于简支梁：弯矩方程分段时的积分常数由 连续性条件（梁内已知位移关系）确定：积分常数确定后，梁任意截面的转角和挠度可从旋转角方程和偏转方程。返回下一个之前的总结示例 7-8：求图中所示悬臂梁自由端的转角和挠度，梁的EI为常数。解：（1）建立弯矩方程，列出挠度曲线的微分方程： （2）将微分方程积分得到： （3）当x=0，θA=0时，得C=0；当x=0，yA=0时，得D=0；所以角度方程为： 偏转方程为： (4) 求旋转角度的偏转： 返回下一页。总结 4. 用叠加法计算梁的位移 范围内所需的物理量（反作用力、内力、变形等）都与梁上的载荷呈线性关系。在这种情况下，几个荷载同时作用的效果等于每个荷载单独作用的效果的代数和。2. 叠加法计算步骤：①分解载荷（对每个单独作用的载荷）；②计算各荷载单独作用时梁的变形量（相应截面的挠度和转角可分别通过查阅梁的变形表确定，教科书表8-1）；③通过叠加得到最终结果（同一平面内载荷产生的变形按代数相加，否则应按几何相加）。

例 7-9 求所示简支梁的最大偏转角和旋转角。光束的EI=常数，a>b。解法：返回下一个小结 例7-10 等截面支腿梁如图，试求C截面的挠度，梁的EI为常数。解法：将梁分解为 AB 和 BC 两段： 例 7-11 等截面悬臂梁如图所示，试求 C 截面的挠度，梁的 EI 为常数。解决方法：分解荷载1和2有两种情况：返回下一个之前的总结梁刚度校核的目的是检查梁在荷载作用下的位移是否超过设计规定的允许值。在机械工程中，通常检查偏转和旋转；在土木工程中，只检查挠度。验算挠度时，通常以许用挠度值与跨距的比值作为验算标准。梁的刚度条件由此成立：梁必须同时满足强度条件和刚度条件。在土木工程中，梁的强度条件一般起控制作用。设计横梁时，一般根据强度条件选择横梁截面，然后校核刚度条件，如果不满足横梁，则减小横梁变形。提高横梁抗弯刚度的措施：①提高Wz/A值；（不同于强度问题，转动惯量的局部增加对梁的整体变形影响不大梁刚度计算公式，应考虑加固而不是加厚截面）②减小梁跨l或增加跨中支座；③增加材料的弹性模量E；但效果不大。因为高强度钢的E值与普通钢相近。返回下一个之前的总结 例7-12 如图所示，平面钢闸门底部主梁计算图，梁上有水压，其浓度q=29.6kN/m，此梁已选择对于 25b 工字梁，尝试检查此梁的刚度。应考虑加筋而不是加厚截面）②减小梁跨l或增加跨中支座；③增加材料的弹性模量E；但效果不大。因为高强度钢的E值与普通钢相近。返回下一个之前的总结 例7-12 如图所示，平面钢闸门底部主梁计算图，梁上有水压，其浓度q=29.6kN/m，此梁已选择对于 25b 工字梁，尝试检查此梁的刚度。应考虑加筋而不是加厚截面）②减小梁跨l或增加跨中支座；③增加材料的弹性模量E；但效果不大。因为高强度钢的E值与普通钢相近。返回下一个之前的总结 例7-12 如图所示，平面钢闸门底部主梁计算图，梁上有水压，其浓度q=29.6kN/m，此梁已选择对于 25b 工字梁，尝试检查此梁的刚度。

解：梁的允许挠度为：如果不满足刚度条件，则应重新设计。选择28b工字钢，查表得：Iz=。因此，应选择28b工字钢。返回下一个上一个总结 7-13 矩形截面悬臂梁如图所示。已知： ，单位跨度内的允许挠度。尝试检查梁的强度和刚度。解决方法： 1.强度校核 2.刚度校核 结论：梁满足强度和刚度要求。返回到下一个上一个摘要。受力构件中某一点处所有截面上的应力状态之和称为该点的应力状态。如拉压杆斜截面应力： 研究方法：取单元体。主平面——剪应力为零的平面；主应力——主平面上的法向应力；主元体——由三个主平面组成的元体；三个主应力按代数值排列：σ1>σ2>σ3 分类：三向（空间）应力状态——三个主应力不为零；双向（平面）应力状态——两个主应力不为零；（这是本研究的重点） 单向（简单）应力状态——二 主应力为零。此外，它是一种复杂的应力状态。纯剪切条件 - 所有面上只有剪切应力，没有法向应力。返回到上一个摘要，例如简支梁。三个主应力按代数值排列：σ1>σ2>σ3 分类：三向（空间）应力状态——三个主应力不为零；双向（平面）应力状态——两个主应力不为零；（这是本研究的重点） 单向（简单）应力状态——二 主应力为零。此外，它是一种复杂的应力状态。纯剪切条件 - 所有面上只有剪切应力，没有法向应力。返回到上一个摘要，例如简支梁。三个主应力按代数值排列：σ1>σ2>σ3 分类：三向（空间）应力状态——三个主应力不为零；双向（平面）应力状态——两个主应力不为零；（这是本研究的重点） 单向（简单）应力状态——二 主应力为零。此外梁刚度计算公式，它是一种复杂的应力状态。纯剪切条件 - 所有面上只有剪切应力，没有法向应力。返回到上一个摘要，例如简支梁。此外，它是一种复杂的应力状态。纯剪切条件 - 所有面上只有剪切应力，没有法向应力。返回到上一个摘要，例如简支梁。此外，它是一种复杂的应力状态。纯剪切条件 - 所有面上只有剪切应力，没有法向应力。返回到上一个摘要，例如简支梁。