第三章 杆件基本变形

本章主要学习材料力学的相关内容，主要研究各种构件在外力作用下的内力和变形。在保证满足强度、刚度和稳定性的前提下，选择合适的构件材料，确定合理的截面形状和尺寸，以达到安全和经济的目的。

材料力学的研究对象主要是“棒”。所谓杆件，是指纵向（纵向）尺寸远大于横向（垂直于纵向）尺寸的构件，如立柱、横梁、传动轴等。杆有两个主要的几何因素，横截面和轴。横截面是指垂直于轴向的截面，它是连接所有截面质心的线。

杆件在外力作用下的变形，因受外力方式不同，有以下四种基本形式：

(1)轴向拉压变形；

(2) 剪切变形；

(3)扭转变形，

(4)弯曲变形。

在工程实践中，有些构件的变形虽然复杂，但总可以看作是上述基本变形的组合，称为组合变形。

第一节 拉压

在工程结构和机械中，有许多部件在轴向拉压中起作用。本节主要讨论杆件在轴向拉压过程中的内力和变形，研究材料在拉压作用下的力学性能，从而得出轴向拉压杆件的强度计算方法。

一、内力与截面法

一、内力的概念

杆在外力作用下发生变形，它的一部分对另一部分的作用称为内力。显然，外力消失，内力也随之消失，外力增加，内力也随之增加。但对于某种物质，内力的增加只能在物质的特定限度内，超过这个限度，物体就会被破坏。因此，内力和力量是密切相关的。

2.分段法

假设一根直杆，两端承受轴向拉力F。为了求出杆任意截面mm上的内力，我们可以想象一个平面将杆沿m_m截面截断，分为分为Ⅰ、Ⅱ两个部分，以第Ⅰ部分为研究对象。内力作用于截面Ⅰ的m_m截面各处，合力为FN。FN 为截面 II 对截面 I 施加的力，与外力 F 平衡。由于外力 F 的作用线沿杆件轴线，显然，截面

m_m 上的内力的合力也必须沿杆件的轴线。建立段Ⅰ的平衡方程：

F NF=0 得到 FN=F

假设截取一根受外力的棒材，以显示其内力，并求出其在平衡状态下的合力的方法称为截面法。

因此，构件内力的计算方法——截面法可归纳为：

截断替换

2.拉伸和压缩的应力变形特性

构件一般为直杆，计算时可简化为图3-2所示的受力图。

从图中可以看出，杆件受拉和受压的力特性为：作用在杆件上的合力与作用在杆件上的外力的作用线沿杆件的轴线方向。力FD的作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并通过横截面的质心。这种内力称为“轴向力”。

变形的特点是：纵向伸长或沿轴向缩短。以轴向伸长为主要变形特征的杆称为拉杆，以轴向压缩为主要变形特征的杆称为压杆。

轴力计算的一般规则是：任意截面上的轴向力在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有轴向外力的代数和。

拉（压）杆的轴向力确定后，不能立即判断杆在外力作用下是否会因强度不够而损坏。比如同材质的拉杆有两根，一根粗一点，一根细一点。在轴向拉力相同的情况下，两杆的轴向力相等，但细杆可能断而粗杆继续。判断杆件强度是否足够，需要知道横截面上分布的内力集中情况，通常称为“应力”。由于轴向力沿截面的法线方向作用，相应的应力必然沿截面的法线方向，称为法向应力或法向应力，用符号 σ 表示。法向应力σ为单位面积的内力，表示为：σ=FN/A

线性应变 ε 是每单位长度的伸长率。法向应力 σ 和线性应变 ε 之间存在以下关系。

σ = E.ε

3、材料在拉（压）力下的力学性能

材料的力学性能主要有两个方面：一是强度特性，二是变形特性。要正确认识材料的力学性能，就必须进行实验。常温静载拉伸试验是研究材料力学性能最常用和最基本的试验。试验采用国家标准统一规定的低碳钢汽车标准试件。L0为试件试验段的长度，称为标距，两端粗端用作与试验机连接的接头。为了便于比较不同厚度试件断裂后工作截面的变形程度，圆形截面试样的标距长度L0与直径d之比通常规定为L0=10d或L0=5d。下面分别以低碳钢和铸铁作为塑性和脆性材料的代表进行实验。

一、低碳钢拉伸时的力学性能

进行拉伸试验时，先将试件安装在试验机上，再将变形量安装在试件上。

仪器，启动试验机，使试件承受逐渐增大的轴向拉力的作用，从试验机的力指示盘上读出拉力值，从变形量上读出试件的伸长量测量。随着张力逐渐增加，变形量也随之增加。当拉力增加到一定值时，试样断裂，试验结束。

试验时，试样的拉力F与伸长率△L呈一一对应关系。若以拉力F为纵坐标，△L为横坐标，根据两者的对应关系，F与△L的关系曲线称为拉伸图或F-△L曲线。很多试验机都有自动绘图设备，在试验过程中可以自动绘制拉伸图，描绘低碳钢试样拉伸时外力与变形关系的全过程。然而，拉伸图尚不适合表达材料在拉伸时的力学性能。因为拉伸图与试件尺寸有关，在相同的拉力下，细长试件变形较大，而短粗试件变形较小。为了消除原始尺寸的影响拉伸强度校核公式，得到反映材料性能的曲线，通常用σ=F/A作为法向应力，ε=△L/L0作为应变，应力-得到材料的应变图，可以更好地反映材料的力学性能。受力分析如下图所示：更能反映材料的力学性能。受力分析如下图所示：更能反映材料的力学性能。受力分析如下图所示：

低碳钢的整个拉伸变形过程可分为四个阶段：

(1) 弹性阶段：在这个阶段试件的变形是弹性的。如果移除试样上的载荷，则变形可以完全恢复。在拉伸初期，Oa为直线段，说明应力与应变呈线性关系，符合虎克定律。超过a点后，应力与应变不再保持线性关系，所以我们称直线最高点a对应的应力σp为材料的比例极限。低碳钢的配比极限σp = 。随着试验的继续，试件上的拉力和应力增加，ab段的线开始弯曲，表明σ和线应变ε之间的关系不再成正比，产生的变形仍然是弹性的。所以我们把非常接近比例极限的b点对应的应力值σe称为材料的弹性极限。它表示材料在卸载后不产生塑性变形的最大应力值。由于 σp 和 σe 的值极其接近，实验中很难准确测量，因此在实践中认为它们是重合的。

(2)屈服阶段(bc段)：负荷继续增加。试件重力超过b点后，逐渐由b点发展到c点，再由c点发展到c′。曲线的斜率迅速减小。当拉力增加到一定值时，应变急剧增加，但应力在一定的小范围内不断波动，图形上出现一条近水平的波浪线。

因此，这个阶段被称为屈服阶段或流动阶段。c点对应的应力值σs称为材料的屈服点。σs= 低碳钢。当应力达到屈服极限σs时，试件会产生显着的应力，因此在构件设计中，一般规定钢材的最大应力不得超过屈服极限σs。由此可见，材料的屈服极限是衡量材料强度的重要指标。

如果试样经过抛光，试样表面会出现与试样轴成 45° 左右的条纹。这些条纹是由材料沿试样最大剪应力平面的滑移引起的，通常称为滑移线。

(3)强化阶段：屈服阶段后，试样内部晶粒组织因塑性变形而发生变化，材料抵抗变形的能力增强。也就是说，要使试件继续变形，就需要增加拉力拉伸强度校核公式，所以应力随着应变的增加而增加，图中形成一条上升曲线c'。这种现象称为强化，这个阶段称为强化阶段。最高点d对应的应力σb称为强度极限。

低碳钢的强度极限σb=。σb 为试样断裂前所能承受的最大应力值。也是衡量材料强度的重要指标。

(4)局部变形阶段(de段) 当应力达到强度极限时，试件会在某一最薄弱的局部范围内发生明显收缩，产生所谓的“颈缩”现象。由于试件截面急剧收缩，塑性变形迅速增大，因此载荷读数（即试件的阻力）减小，直至试件断裂。

试件被拉下后保留的塑性变形可以用来说明材料塑性变形的程度。

2、铸铁拉伸时的力学性能：

从图中可以看出，铸铁从开始拉伸到断裂时，变形并不明显，应力应变很小。

整个图上没有明显的直线部分，也没有屈服阶段。但在工程实践中，当σ-ε曲线的曲率很小时，往往用直线代替σ-ε曲线，近似认为材料服从胡克定律。直线的斜率E=tanα称为弹性模量。断裂时的最大应力 σb 是材料的强度极限。由于脆性材料的抗拉强度σb较低，不易用作受拉构件的材料。

3. 压缩时材料的力学性能

许多材料在拉伸和压缩方面具有非常不同的机械性能。因此，除了拉伸试验外，还必须进行压缩试验。压缩试验的试样一般为高度略大于直径的立方体或圆柱体。

低碳钢的压缩试验，如图3-8所示，在屈服阶段之前，压缩曲线与拉伸曲线重合，因此压缩时的弹性模量、比例极限和屈服极限与拉伸时相同. 不同的是，随着压力的增加，试件的挠度会越来越大，产生较大的塑性变形，因此压缩曲线不断上升，因此无法测量材料的强度极限。

当铸铁被压缩时，无论是强度极限还是伸长率都比拉伸时大得多，因此铸铁很容易用作受压构件。当铸铁受压损坏时，断裂面与轴线成约450°角。这是因为450截面上的最大剪应力超过了材料的抗剪强度。

4、许用应力及安全系数

当塑性材料的应力达到屈服极限，脆性材料达到强度极限时，部件就不能正常工作。所以我们称它们为终极压力。

为保证部件安全可靠运行，部件的实际受力必须小于极限应力，必须预留一定的安全储备。为此，常将材料的极限应力打折，即除以大于1的系数后，作为构件实际工作应力不允许超过的值。这种应力称为材料的许用应力。

[σs]=σs/n

从上式可以看出，许用应力值的规定本质上是安全系数如何选择的问题。从安全考虑，应提高安全系数，降低许用应力，但这会消耗更多的材料和人力，造成浪费。相反，从经济上考虑，需要降低安全系数来提高许用应力，可以减少材料和人力的使用，但不利于安全。因此，应合理权衡安全性和经济性两方面的要求，不能过分强调某一方面。

一般来说，在确定安全系数时，应综合考虑以下主要因素。

(1)材料质量，包括材料的质地、均匀程度，是塑性材料还是脆性材料；

(2)负载情况，包括对负载的估计是否准确，是静态负载还是动态负载；

(3) 组成部分的重要性；

(4) 元器件在使用期间可能遇到的事故或其他不利工作情况；

(5)计算图解及计算方法的准确性。

5、拉压时的强度校核

为保证元器件安全可靠地正常工作，元器件的最大工作应力必须小于材料的许用应力，即

σmax=F Nmax/A=[σ]

在知道构件的材料、截面尺寸和载荷的情况下，检查构件的强度是否满足强度要求。如果能够满足，说明该组件的强度足够，否则说明该组件不够安全。

第三节 剪切和挤压

1.切割

一、切割的概念：

如图3-11b所示，在这样一对大小相等、方向相反、距离很近的外力作用下，构件截面将发生沿力方向的相对位移变形，称为剪切变形。在变形过程中，产生相对位移的截面mm称为剪切

面条。

受剪部位的受力特性为：作用在构件两侧的外力的合力

大小相等方向相反，作用线非常接近。其变形特点是：构件沿两个力

活动部分发生相对位移。

2. 剪切和剪切应力

钢板在外力作用下使零件发生剪切变形。此时，在零件内部，

产生抵抗变形的力，称为剪切力。使用截面法，可以得到截面的内力——

可知，剪力等于外力，与受力截面相切。常用FQ表示。

由于剪切力 FQ，剪切平面上存在剪切应力 τ。剪切应力 τ 沿剪切方向表示

表面应力分布的程度，即单位面积的剪力。

τ=FQ/A

2.挤压

一、挤压的概念

接触面相互挤压而产生局部变形的现象称为挤压。

2.挤压应力

挤压面上单位面积的挤压力称为挤压应力。

σB=FB/AB

3.剪切和挤压强度

1.剪切强度

剪切面上的最大剪切应力，即剪切强度

τmax不得超过材料的许用剪应力，表示为

τmax=FQ/A≤[τ]

2、挤压强度

挤压面的最大挤压应力不应超过许用挤压应力，即

σB max=FB/AB≤[σB]

三种类型的强度问题可以通过使用剪切强度和挤压强度的两个条件表达式来解决，

即强度校核、设计断面尺寸和许用载荷的确定。

4、剪切挤压在生产实践中的应用

第三轮轴扭力

1. 扭力的概念

作用在一对大小相等方向相反的力偶上，作用面垂直于轴线

接下来，它们的截面会产生绕轴的相对转动，这种变形称为扭转变形。采用

当钥匙开门时，钥匙也会被扭曲变形。

变形特征为：

(1)一对大小相等方向相反的力偶作用在杆的两端

采用。

(2) 杆上的每个截面都相对于杆的轴线旋转。

2.圆轴扭力外力矩的计算

研究圆轴扭力的方法与拉（压）杆的方法相同。首先计算作用在轴上的外力，然后分析截面上的内力，建立应力和变形的计算公式，最后计算强度和刚度。

作用在轴上的外力偶矩通常不是直接给出其值，而是轴的转速和传递的功率。这时候就需要根据理论力学偶数推导出的功率、转速、转矩的关系来计算外力。

Np = Mω

M≈/n

3.扭矩计算

1、内力

求圆轴扭曲时的应力截面法。

2. 符号规定

4、圆轴受扭时的受力分析

1. 扭转现象与假说

我们从观察实验现象出发，取一个直圆轴，在圆柱面上画出一组平行于该轴的纵线和一组代表横截面的圆周线，组成许多矩形（图3-19） ). 然后将其一端固定，另一端作用一个耦合面垂直于轴线的外力矩。此时圆轴变形。在变形较小的情况下，可以看出：（1）每条圆周线的形状和大小以及两条圆周线之间的距离没有变化，只是绕轴旋转了不同的角度。

(2)所有的纵线仍近似为一条直线，只是倾斜了相同的角度，使原来的长方形变成了平行四边形。

由以上观察，可以得出圆轴扭曲时的基本假设（平面假设）：

受扭时，圆轴的截面始终是一个平面，形状和尺寸没有变化，只是相对于轴线有很小的扭转变形，所以截面上没有法向应力，只有剪应力垂直于半径。

2、剪应力分布规律：

圆轴横截面上任一点的剪应力与该点所在圆的半径成正比，方向垂直于通过该点的半径，最大剪应力出现在该点具有最大的半径。

3、剪应力计算公式：

τ=M T.ρ/Ip

当ρ=R时，剪应力最大，即

τmax = M TR / Ip

设 Ip/R=Wt τmax=MT/Wt

4. Ip和Wt的计算

(1) 实心圆轴

Ip=ΠD4/32≈0.1D4

Wt = ΠD3/16≈0.2D3

(2) 空心圆轴

Ip=0.1D4 (1-α4)

Wt = 0.2D3 (1-α4)

五、圆轴的抗扭强度条件

圆轴受扭时的强度条件为：危险截面上的最大剪应力τmax不得大于

超过材料的许用剪切应力[τ]，即

τmax＝MTmax/Wt≤[τ]

六、提高抗扭能力的方法

1、选择合理截面，增大轴的扭转截面系数Wt。

2、合理安排受力情况，降低最大扭矩M Tmax

第 4 节直弯梁

1.弯曲的概念

弯曲变形是实践中比较常见的变形。如起重机的横梁等。

会发生弯曲变形。因此，当杆受到横向外力或垂直于其轴线的外力偶作用时

动作时，杆会弯曲变形。在工程中，任何以弯曲变形为主的构件

称为光束。

二、平面折弯

如果梁的横截面具有对称轴，则对称轴与梁的轴形成一个对称平面，并且

外力（包括载荷和支撑反作用力）作用在包含该对称轴的纵向平面内，然后

变形后的梁轴仍会在这个纵向平面内，这种弯曲称为平面弯曲。

三、横梁的基本形式

梁的支撑形式和荷载的作用形式复杂多样。用于分析

通过计算，必须进行简化。根据简化结果绘制计算图，然后进行力学分析

计算。计算图是力学计算的基础，必须准确反映梁的约束和

负载的实际情况，以保证计算结果的准确性。

通常根据支座对梁的约束，简化为以下三种典型形式：

模式。

(1)简支梁：一端由固定钢绞线支撑，另一端由活动钢绞线支撑的梁。

(2)悬臂梁：一端由固定铰链支撑，另一端自由活动的梁。

(3)悬挑梁：有一个或两个悬挑的梁。

四、梁的内力（剪力和弯矩图）

当作用在梁上的所有外力（包括荷载和支座反力）已知时，梁任意截面的内力可用截面法求得。

1.首先找出横梁上的外力

FRA=Fb/L

F RB=Fa/L

2.用截面法求内力

(1) 在截面 mm 处将梁切割成假想的两部分。

(2) 以左端为研究对象。

(3)建立平衡方程：

从 ΣF=0: F RA-F Q=0 FQ= F RA

从 ΣM=0: M= F RA·x

3.剪力和弯矩符号的规定

剪力符号规定：左上右下为正，反之为负。

弯矩的符号规定，如果梁微段是凹的，则为正，否则为负。

4.建立剪力和弯矩方程，绘制剪力和弯矩图

例 3-5： 解法： (1) 求支撑反作用力：

从 ΣM B=0 ΣM A=0：

F·bF RA·L=0 F·RA=F·b/L

F RB·L+F·a=0 F RB=-F·a/L

(2)列FQ，M方程：

FQ(x) = F RA- F = F b/L (0

M(x)=FRA xF(xa)=F a/L(Lx),

(0≤x≤a)

(3)制作FQ图和M图

五、梁的强度

1.纯弯曲

梁各截面剪力为零、弯矩恒定时的弯曲变形称为纯弯曲。

2.正应力

(1)变形后水平线仍为直线，弯曲后仍与梁的轴线垂直，只是旋转了一个角度。

(2)变形后纵线变为圆弧，梁上部凹边纵线缩短，下部凸边纵线拉长。

如果假设梁由无数纵向纤维组成，则梁中一定有一层既不伸长也不缩短的纤维。我们称这一层纤维为“中心层”。中性层将变形的横截面分为两个不同的区域，即拉伸区域和压缩区域。中心层与横截面的交线

称为“中轴”。

根据以上观察到的现象，通过判断和推理，可以做出如下假设：

(1) 纯弯曲时，梁的截面保持平坦，即“平面变形假设”。

(2)纵向纤维不相互挤压。因此，在法向应力作用下，每根纵向纤维只受到单向拉伸或压缩。

(3) 距离如中轴处的纵向纤维变形相同，即各纵向纤维的变形与其在横截面宽度上的位置无关。

4、横梁强度：

σmax=M max/Wz≤[σ]

6、提高抗弯能力的方法

1.梁的截面形状

梁的截面形状有圆形、矩形、槽形、工字形等，选择合理的截面，调整截面的几何特性，可以达到提高强度和节约材料的目的。

2、合理安排负载

(1)集中载荷作用。

(2)适当调整横梁的支撑位置，也可减小最大弯矩值。

(3) 将集中荷载靠近支座放置，可减小最大弯矩值。

3、采用变截面梁

4、提高抗弯刚度的措施

(1)缩短梁的长度。

(2) 在不能缩短梁的长度的情况下，增加梁的支撑约束。

(3)改变梁的截面形状，尽量采用工字形、箱形薄壁构件。

(4)改进结构设计。

第 5 节 间接组合变形

1.组合变形的概念

在载荷作用下，同时发生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。

2、拉（压）弯复合变形

3、弯扭组合变形

4、压力条的稳定性

第 6 节 影响钢筋变形的其他因素

1、交变载荷对杆件变形的影响

2、冲击载荷对杆件变形的影响

3、失稳现象对杆件变形的影响

4.重力集中对棒材变形的影响