众所周知，有限元分析中单位设置不当会造成计算错误，其中最常见的是剪切锁死和沙漏效应。接下来，我们将从剪切自锁和沙漏效应的角度讨论有限元仿真分析误差的来源。如有不妥之处，欢迎大家批评指正。
1.高斯积分
要了解沙漏效应和剪切自锁，我们从元素平衡方程开始。我们知道，有限元的元平衡方程是通过最小势能原理推导出来的，最小势能原理是这样的。
看似简单，但简单的公式往往蕴含着极为深刻的道理。这个公式讲的是平衡状态下的位移场，使总势能取极值。总势能包括应变能和外力势能，这样公式就变成了这样。
从表达式，应变能：
体力势能：
面力势能：
找到这些都需要积分。对于计算机来说，积分很难，但求和很方便。于是工程师开始寻找数学工具，并找到了高斯积分。数百年前，高斯发现定积分可以近似等于多项式之和。高斯积分公式如下所示。
其中：A1、A2、……、An称为高斯积分权重；x1, x2, ..., xn 称为高斯积分点。
2.剪力自锁
下一个概念是完全积分刚度矩阵计算公式，即单元的刚度矩阵可以精确积分的高斯积分点个数，其中主单元每个方向有2个，次单元每个方向有3个。示意图如下。
对于弯曲载荷元件，元件变形应如下所示。
全集成一次单元无法模拟弯曲，因此单元刚度变大，如下示意图。
如图所示，积分点处水平虚线与垂直虚线的夹角不再为90度，从而产生剪应变。计算结果可能不可靠。
01 计算实例演示
悬臂梁的示例如下所示。
从材料力学我们知道，悬臂梁端部的位移为：
用它来模拟一下，看看剪力自锁会带来什么样的误差？
中间的单位属性一般都是自动赋值的，你可能不知道如何设置单位属性。首先设置全积分，然后在中间设置，如下图。
这时候可以设置模型的单元属性，找到相关模型中的Brick，设置为Full，如下图。
这是完全集成的设置。接下来，设置主要单位。 Nodes to Drop in the mesh是主要单元，如下图。
计算结果如下：
末端位移0.93mm，误差达到70%，不能接受。细化网格后，再进行计算，结果如下。
终点位移为0.，误差为50%。
将一次单元换成二次单元，使用相同的网格条件，看计算结果，如下。
计算结果为3mm，误差为3%，可以接受。
在不同的单元中提取应变，初级单元的应变如下。
查看剪切应变的绝对值，即 0.0007。
二次单元的应变如下。
查看剪切应变的绝对值，为 4.8×10-5。
可以看出，当完全集成时，初级单元产生较大的剪切应变，即发生剪切自锁现象。当然，剪切自锁不一定对计算结果有这么大的影响。我们细化网格并再次计算，结果如下。
计算出来的结果是2.85mm，误差8%，还是可以接受的。
02 剪切自锁
3. 沙漏效应
我们已经在上面讨论了剪切自锁。接下来，我们将讨论在有限元模拟过程中经常遇到的另一个问题——沙漏效应。
01模态计算
不知道大家在做模态分析的时候会不会遇到这样的情况。
还是上一篇悬臂梁的例子，从图中可以看出一阶固有频率只有6.8Hz。这个结果可信吗？我们验证计算固有频率的公式如下。
其中 K 是模态刚度，M 是模态质量。
这两个参数好像都算不出来。别担心，先计算刚度。观察图中的振型，发现一阶固有频率是整体性能的波动。那么我们就可以通过挠度来计算，悬臂梁挠度的计算公式，你没忘记。
对这个公式进行变换，公式如下。
那么模态刚度：
计算刚度：
那么质量呢？我们仍然观察模态，发现这个模态几乎是整个模型都参与的，所以我们认为这个模态的好坏就是整个模型的好坏：
代入公式，得到一阶固有频率为：
这与模拟值相差太远，为什么会这样？
从单位设置上，我把单位设置成缩合单位，会不会跟这个有关系？
02 减分
缩减积分比全积分在每个方向上少用一个积分点，所以减速积分状态下主单元和副单元的积分点分布如下。
这会导致元素弯曲时出现这种情况，如下所示。
这样，中间的水平线既不拉长也不缩短，单元不产生法向应力。另外，水平线与垂直线的夹角没有变化，所以单元没有剪应力。该元件没有任何类型的应力，因此该元件不能承受任何载荷，即刚度为零。这就是沙漏效应。
03 案例展示
用次级单元替换初级单元，然后计算众数。
仿真结果为91.2Hz。与理论计算值相比，仅存在0.6%的误差。
约化积分的二次单元不存在沙漏现象吗？如果把网格画得粗些，计算结果就变成如图所示。
一阶固有频率变为0Hz，不仅一阶固有频率，其他阶数也变为0或非常小的值。
为什么会这样？其实与单位的长细比有关。如果单元特别细长，积分点会非常接近。在极端情况下，两条积分线重叠。我们看变形单元的形状，二次单元可以弯曲，那么垂直线和水平线的夹角是90度，所以单元没有剪应力。单元特别细长，水平线基本位于中性层刚度矩阵计算公式，不会拉长或缩短，所以没有法向受力。然后沙漏效应再次出现。
04 沙漏效应总结
在集成度降低的情况下，无论是主单元还是副单元，都可能出现沙漏效应。要消除沙漏效应，需要提高网格质量，降低网格的长细比。
减少的积分可以有效地消除剪切自锁的影响，而不会产生过大的刚度。
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