到上一篇公众号文章《》，我们基本涵盖了模态理论相关的所有概念，完成了对多自由度系统模态理论主要内容的阐述。上一篇文章提到，模态理论的推导有两种数学方法刚度矩阵计算公式，虽然得到的模态参数有不同的异同。然而，无论使用哪种理论方法，反射结构模式的性质必须相同。

本文的目的首先是阐明两种数学方法得到的模态参数之间的内在关系，其次展示所有这些模态参数在一个商业软件中的体现，希望能给结构振动/模态工程师的工作带来一些帮助帮助。

—— 1#老枪

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模态理论的两个推导

对于模态理论的推导，如图1所示，一般有以下两种方式：

第一种方法是基于复变函数的数学理论（图1左侧），也是本公众号近期文章中主要使用的方法。基于多自由度系统运动学方程的变换，从动刚度矩阵反演的传递函数的表达形式出发，首先从动刚度行列式的零点确定传递函数的极点矩阵; 然后基于留数定理，将传递函数转化为部分分数形式的留数/极点表示，并进一步从留数推导出振型的概念。最后引入载荷向量，得出“

第二种方法也是大部分模态相关书籍采用的方法（图1右侧）。首先，从求解多自由度系统的自由振动微分方程入手，将微分方程转化为广义特征值问题；特征值（模态极点）、特征向量（模态形状）；结合模态正交性，证明了模态线性叠加理论；最后，广义模态参数（模态质量、模态刚度、模态阻尼）和模态振型的频率响应函数表达式。

图1 模态理论的两次阐述过程

基于复变函数理论的推导过程不需要考虑系统的阻尼类型，也不需要考虑是实模态还是复模态，其所有结论都具有普遍意义。然而，模态极点的获取需要求解高阶方程|Z(s)|=0。然而，高阶方程（≥5阶）的求解往往难以直接通过代数方法实现。常用的方法仍然是将其转化为矩阵特征值问题，用数值方法求解。

相对于基于微分方程求解的推导过程，基于矩阵的求解虽然计算容易，但从特征值/特征向量开始就局限于实模（无阻尼或比例阻尼）解，所以很多结论只适用于real modal。例如，关于质量/刚度/阻尼的模态正交性，以及基于这些模态广义参数的模态线性叠加的表示，在理论上严格限于实模态。

事实上，对于具有一般粘性阻尼特性的结构的复杂模态，振动微分方程的求解需要通过附加构造状态方程来完成。此时，模态正交性将不再对应模态质量和模态刚度，而是抽象的广义模态参数a和b（br/ar=-λr）。当然，系统响应仍然满足模态线性叠加理论，表达式如下（具体推导过程见参考文献1）：

式（1）和（2）是求解微分方程得到的复模态的一般表达式。将它们与复变函数得出的结论进行比较，可以发现模态参数a和比例因子Q互为倒数。

这里，需要说明一下：虽然在现实中，所有结构的模态都是复模态，实模态只是一种理论假设，但在工程中，我们在大多数情况下仍然采用实模态理论。例如，在对结构进行模态仿真计算时，大部分场合都是真实的模态分析。这是因为，如前文所述，结构的阻尼参数往往难以精确确定。在工程中，往往先通过实模态阐明结构的质量和刚度特性，然后结合试验模态结果，将结构的阻尼信息引入模型，用于下一步的结构动力响应分析。

图1中的两种方法虽然采用了不同的数学方法，但最终反映出来的模式的性质是相同的，因此这两种方法之间必然存在内在联系。首先，求解复变函数中的极点完全对应于微分方程中的广义特征值，都是求解动刚度矩阵行列式的零点。然而：

1) 模态振型的求解过程不同，前者直接从残差矩阵A得到，后者对应特征向量。既然最终对应的是同一套参数，那两者又有着什么样的内在关系呢？

2) 如上所述，我们知道复变函数法中的比例因子Q与复模态微分方程求解中的模a互为倒数，但都是抽象的参数，没有明确的物理意义。通过实模正交性得到的广义模态参数（mr、kr、cr）可以将结构频率响应或振动响应表示为多个SDOF系统的线性叠加。显然，后者比前者具有更直观的物理意义。那么比例因子Q与广义模态参数有什么关系呢？

下面，我们就以上两个问题分别进行阐述。

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残差矩阵 A 与特征向量 φ 的关系

传递函数矩阵与动态刚度矩阵的关系为：

我们在《》中提到，对于n自由度系统，行列式| Z(s)| 是具有最高阶项 s2n 的多项式。

将分母多项式分解为极点表示是：

使用“ ”中的极限法（规则一）得到每一阶的残差矩阵，如第r阶残差为：

可以看出，式(6)中除伴随矩阵外的部分为常系数，定义为Pr：

然后是：

由于极点 λr 是 |Z(λr)| 的零点，我们有：

比较方程（9）和方程（10）在微分方程法中求解广义特征值/特征向量：

可以理解：adj[Z(λr)]中的每一列应该与特征值λr对应的特征向量（振型）成线性比例关系。假设两者之差为一个系数Kr，考虑到残差矩阵为对称矩阵，则有：

将两个常系数Pr和Kr的乘积合并为一个常系数Qr（比例因子），我们得到：

至此，我们就完成了残差矩阵A与特征向量（模态）φ之间关系的严格推导。

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比例因子Qr与模态质量mr的关系

一般情况下，实验模态分析的结果都是复模态，模态参数应包括：模态极点/特征值λ、留数A、模态振型φ、比例因子Q、模态a、模态b等。但是，在实际上，在模态分析软件中仍然可以得到实模态对应的广义模态参数（模态质量mr、模态刚度kr、模态阻尼cr）。

其过程为：通过实验模态参数辨识得到极点和留数矩阵后，首先选择某种模态归一化方法确定各模态的模态向量和比例因子Qr；然后考虑结构类似于实模态特性，根据实模中比例因子Qr与模态质量mr的关系，用Qr的虚部换算各阶的模态质量和模态刚度. 下面具体说明：实模条件下，比例因子Qr与模态质量mr的对应关系。

MDOF系统传递函数矩阵的极点/振型表达式为：

对于实模，阻尼为 0，极点为纯虚数，模态矢量为纯实数，比例因子为纯虚数。因此：λr=jωr，λr*=-jωr，φr*=φr，Qr*=-Qr。取s =jω 得到频率响应函数矩阵：

以及结构的振动响应：

其中模态坐标 qr 是：

根据之前公众号《》的公式（22），实模正交得到的模态坐标为：

将上式右边的分子和分母同时除以mr，根据kr / mr = ωr2，得：

为了便于观察，我们将式（16）和（18）放在一起：

可以看出，比例因子Qr与模态质量mr的关系为：

例如，以《》中的2DOF系统为例，其二阶固有频率为：ω1=5 rad/s，ω2=rad/s，当二阶振型表示为sum时，比例因子,. 根据模态正交性得到模态质量为：m1=5.5kg，m2=11/9kg。不难验证，比例因子Qr与模态质量mr的关系确实满足式（20）。

在试验模态分析中，通过选择振型矢量归一化方法确定各阶模态的比例因子Qr，然后根据式（20）计算模态质量，模态刚度kr=mrωr2。模态阻尼cr，我们在上一篇文章中提到，可以直接由模态的临界阻尼比ξr计算：cr = 2ξr mr ωr。至此，我们已经获得了所有的广义模态参数。

注：对于式（19），因为：，括号后半部分为单调递减函数。以图2中10Hz的固有频率为例，可以看出后半部分（蓝色曲线）随着频率的升高而迅速衰减。当频率接近固有频率时，后半部分比前半部分小很多，通常可以忽略不计。故有： ，则式(19)中的模态坐标可简化为：

图 2 模态坐标的简化图示

其实在之前的公众号文章《模态线性叠加论》中刚度矩阵计算公式，我们提到过转信变位部分的后半部分可以省略，原因和上面类似。

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实验模态分析软件中的模态参数

接下来，我们结合一款经典的测试模态分析软件，来讲解一下各个模态参数的查看位置。

在模态分析结果中，选择要查看的模态，鼠标右键选择菜单，弹出阶模态的属性框。

首先，在第一个标签页，我们可以看到振型归一化方法（）、模态极点（Pole）、无阻尼/阻尼固有频率（ / ）和模态临界阻尼比（ ）。

至于广义模态参数，如上所述，它是由比例因子Q决定的，所以采用不同的归一化方法，其取值也会不同。对于不同的归一化方法，读者可以参考“”。

图 3 是我们一直使用的 2DOF 系统的示例。相应的模态参数和广义模态参数。按年计算）。大家可以自己和《》中的计算结果进行对比。

图3 测试模态软件中的模态参数(1)——极点、频率、阻尼和广义模态参数

（PS在上一篇文章中不小心将excel中的固有频率f和圆周频率ω换算反了，所以在动画中二阶模态振型和图1中模态叠加法的振动响应分析结果，f(Hz)的取值不对，应该除以4π2，在此给读者带来的困扰，敬请谅解。）

在标签页，虽然没有比例因子Q，但是可以查看模式a()。如前所述，两者是相互反比的。从图4可以看出，模式a的实部通常很小，接近于纯虚数。

此外，软件还提供了根据振型矢量计算得到的实模验证结果，包括：各自由度的相位离散度（）、平均相位偏差（Mean phase，MPD）和相位共线性（Modal phase, MPC), 帮助客户判断订单模式与真实模式的相似程度。

图4 测试模态软件中的模态参数(2)-模式b和模式a，以及实模验证

在下一个标签页（图 5）中，我们将看到分别以幅度/相位和实部/虚部表示的每个阶次的振型矢量。一般来说，可以看出振型的虚部比实部小，接近于实矢量。相位接近于 0°（同向）或 180°（相反方向）。

图5 测试模态软件中的模态参数（3）-振型

对于第 3 个选项卡上的模态参与因子 ( )，大多数振动或模态书籍中没有这个概念。模态参与因子用于多参考模态分析，可用于验证模态试验激励的充分性。限于篇幅，留到后面再介绍。

除了上述模态参数外，在软件的模态界面也可以查看残差A()。与比例因子和模a一样，当结构越接近实模特性时，留数就会越接近纯虚数。

图6 测试模态软件中的模态参数（4）——残差

综上所述，当结构趋近于实模态特性时，所有模态参数的实/虚特性简述如下（“→”表示“趋近”）：

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概括

这篇公众号文章的主要目的是：对于模态理论的阐述，实际上有两种数学理论，这两种理论会产生不同的模态参数或概念。比如国内外的模态书籍，大部分都是解微分方程的思路。因此，通读本书的读者很可能会发现许多模态概念（例如极点、留数，甚至比例因子）根本就没有找到，或者只是用在诸如“这个参数被称为……”之类的术语中。 "一言以蔽之。因此，工程师在使用模态相关工程软件时无法理解很多参数。

尽管有些书籍（如本文主要参考文献[2]）会从复变函数的角度进行讲解，可惜文字非常简洁，对初学者不太友好，也未能将两种不同的理论结合起来. 完全解释了差异和联系。例如，为什么实验模态分析得到的复杂模态分析结果仍然可以对应到模态质量和模态刚度等参数，而这些参数应该只有在实模态下才有。

鉴于以上原因，虽然测试模态技术在我国应用已有20多年，但工程师在使用工程软件时往往只能停留在频率、阻尼和振型这三个最基本的模态参数层面。无法实现模态数据的进一步应用。例如：通过试验模态分析得到的广义模态参数，实际上工程师可以不使用CAE软件，直接通过模态的线性叠加来预测结构各部分的动力响应。这可能是大多数工程师没有意识到的事情。

因此，在这篇公众号文章中，作者试图通过以下几个方面来帮助读者理清来龙去脉：

一篇文章一旦涉及到理论，总是难免有一大堆公式。但对于致力于了解模式的朋友，笔者相信仔细多看几遍本公众号相关的几篇文章，一定会有别样的收获。如有问题需要讨论或指正，请发邮件至上述邮箱与作者沟通。

疫情已经持续近三年，希望“大疫不逾三年”早日实现。祝大家远离病毒，身体健康。下篇文章见。

参考

[1] 李德宝，陆秋海．试验模态分析及其应用[M]．科学出版社，2001。

[2] 沃德·海伦等人。模态分析理论与实验[M]．北京理工大学出版社，2001。