正态分布由图经典钟形表示。在正态分布中，您可以计算值在范围或间隔中出现的概率。但是，由于连续变量的概率以曲线下的面积来度量，因此连续分布（如正态分布）中特定值的确切概率为零。例如，时间（以秒为单位）是测量的，而不是计算的。因此，您可以确定视频在 Web 浏览器上花费 7 到 10 秒、8 到 9 秒或 7.99 到 90 秒之间的概率。8.01秒。但是，下载时间正好为 8 秒的概率为零。正态分布有几个重要的理论性质
装满10，000瓶软饮料的量 事实上，许多变量的分布与正态分布的理论性质非常相似。表中的数据表示最近一天装在 10.000 升瓶装 1 升瓶中的软饮料量。感兴趣的连续变量，即灌装的软饮料量，可以用正态分布近似。10，000瓶中的软饮料量在1.05至1.055升之间测量，并对称分布在组周围，形成钟形图案。该图显示了用于填充 10，000 个瓶子的数量分布的相对频率直方图和面。
10，000瓶软饮料的相对频率直方图 对于这些数据，正态分布的前三个理论性质是近似的。但是，第四个范围不是无限的。灌装的瓶子数量不能为零或小于 0，也不能装满超过其容量的瓶子。从表中可以看出，每 48 个灌装瓶中只有 10，000 个预计含有 1.08
升或更高，相等的数字预计小于 1.025 升。
符号 f（X） 用于表示概率密度函数。正态分布的概率密度函数在公式中给出。
e = 近似于 2.71828 的数学常数
π = 近似于 3.14159 的数学常数
μ = 平均值
σ = 标准偏差
X = 连续变量的任何值，其中 -∞
尽管该公式可能看起来很复杂，但由于 e 的总和是一个数学常数，随机变量 X 的概率仅取决于正态分布的两个参数 - 均μ和标准差σ。 每次为 μ 和 σ 指定特定值时，都会生成不同的正态概率分布。 该图说明了这一原则。
标记为 A 和 B 的分布具有相同的均值 （μ），但标准差不同。 分布 A 和 C 的标准差 （σ） 相同，但均值不同。 分布 B 和 C 具有不同的 μ 和 σ 值。 计算正态概率要计算正态概率，首先需要使用公式
所示的转换公式将正态分布变量 X 转换为标准化正态变量 Z。应用此公式允许您在正态概率表中查找值，并避免公式 （1） 可能需要的繁琐而复杂的计算。转换公式计算一个 Z 值，该值表示标准值单位中的 x 值与平均值 u 之间的差值。变量 X 具有平均值 U 和标准差σ，而标准化变量 Z 始终具有平均值 u = 0 和标准差 σ = 1。然后，您可以使用表（累积归一化正态分布）来确定概率。例如，过去的数据表明下载视频的时间呈正态分布，平均时间为 7 秒，标准差为 σ = 2 秒。从图中可以看出，
每个指标 X 都有一个相应的标准化指标 Z，该指标根据公式 （2）（转换公式）计算得出。因此，9 秒的下载时间等于比平均值高 1 个标准单位（1 个标准差），因为 Z = （9-7） / 2= 11 秒的下载时间等于比平均值低 -3 个标准单位（3 个标准差），因为 Z = （1-7）/2 = -3 在上图中，标准差是度量单位。换句话说，9 秒的时间是 2 秒（1 个标准差）或比 7 秒的平均时间慢。同样，1 秒的时间是 6 秒（3 个标准差）或比平均时间更快。为了进一步说明转换公式，假设另一个网站的正态分布视频的下载时间，平均时间 = 4 秒，标准偏差 = 1 秒。下图显示了此分布。
将这些结果与网站的结果进行比较，您会发现 5 秒的下载时间比平均下载时间高 1 个标准差，因为 Z = （5-4）/1 = +1
1 秒的时间比平均下载时间低 3 个标准差，因为Z
值由 Z = （1-4）/1= -3 计算后，可以使用累积归一化正态分布中的值表（求正态概率。假设您想查找一个下载时间少于 9 秒的网站。假设平均值 u = 7 秒，标准差 σ = 2 秒，则 X = 9 转换为标准单位。使 Z 值为 +1.00 使用此值，您可以使用表格查找法线下的累积面积，该面积小于 Z = +1.00（在其左侧）。要读取小于 Z = +1.00 的曲线下的概率或面积，请向下扫描表中的 Z 列，直到在 Zrow 中找到感兴趣的 Z 值（十分之一）1.0。接下来，读取该行，直到它与包含 Z 值的第 100 位的列相交。因此，在表的正文中，Z = 1.00 的概率对应于行 Z = 1.0 和列 Z = .00 的交集。下表显示了交集。
交叉点处列出的概率为 0.8413，这意味着下载时间小于 9 秒的可能性为 84.13%。下图以图形方式显示了这种可能性。
小于 Z 的区域由累积归一化正态分布确定
但是，对于其他网站，您会看到 5 秒的时间比平均时间 4 秒高 1 个标准化单位。因此，下载时间小于 5 秒的概率也是 0.8413。下图显示，公式 （2） 将 X 值转换为 Z 值，而不考虑正态分布变量的平均值 U 和标准差σ。
演示两个法线下相应累积部分的比例变换
例 1
找到 P（X> 9）。
网站视频下载时间超过 9 秒的概率是多少？
解决方案：下载时间小于 9 秒的概率为 0.8413。因此，下载时间超过 9 秒的概率为 1-0.8413 = 0.1587。下图说明了此结果。
例 2，
找到 P（X 9）。
网站视频下载时间少于 7 秒或超过 9 秒的概率是多少？
解决方案：要找到这个概率，可以分别计算下载时间小于7秒的概率和下载时间大于9秒的概率，然后将这两个概率相加。下图说明了此结果。
由于平均值为 7 秒，并且平均值等于正态分布中的中位数，因此 50% 的下载时间在 7 秒以下。从示例 1 中，您知道下载时间大于 9 秒的概率为 0.1587。因此，下载时间小于 7 秒或大于 9 秒的概率 （P（X 9）） 为 0.5000 + 0.1587 = 0.6587。
例3，
查找 P（5
网站的视频下载时间在 5 到 9 秒之间（即 P（5
解决方案：在下图中，您可以看到感兴趣区域位于两个值 5 和 9 之间。
示例 3 的结果允许您声明，对于任何正态分布，这些值的 68.26% 将落在平均值的 ±1 标准差范围内。从下图中，您可以看到 95.44% 的值将落在平均值的 ±2 个标准差范围内。因此，95.44% 的下载时间在 3 到 11 秒之间。
从下图可以看出，该值的 99.73% 在平均值上方和下方的 3 个标准差范围内。
因此，99.73% 的下载时间在 1 到 13 秒之间。因此，下载时间不太可能（0.0027，或 10，000 分中的 27 分）太快或太慢，小于 1 秒或超过 13 秒。通常，您可以使用 6σ（即比平均值低 3 个标准差到高于平均值 3 个标准差）作为正态分布数据范围的实际近似值。对于任何正态分布情况。
大约 68.26% 的值落在平均值的 ±1 个标准差范围内
大约 95.44% 的值落在平均值的 ±2 个标准差范围内
大约 99.73% 的值落在平均值的 ±3 个标准差范围内查找 X 值
示例 1 到 3 要求您使用正态分布表来查找正态曲线下特定 X 值对应的面积。对于其他情况中位数 满意度，您可能需要执行相反的操作：查找与特定区域对应的 X 值。通常，您可以使用公式来查找 X 值。
若要查找与已知概率相关的特定值，请执行以下步骤： ?绘制正态曲线，然后将 X 的平均值和值放在 X 和 Z 刻度上。 ? 查找小于 X 的累积面积。 ? 覆盖感兴趣的区域。 ? 使用表格，确定正线曲线下面积对应的 Z 值小于 X。 ? 求解 X： 使用公式
例 4
求 X 值的累积概率为 0.10。完成
最快的 10% 视频下载需要多少时间（以秒为单位）？
解决方案：由于 10% 的视频预计在 X 秒内下载，因此低于正常值的小于此值的区域为 0.1000。搜索区域或概率为 0.1000。最接近的结果是 0.1003中位数 满意度，如表所示
求正态分布线下特定累积面积 （0.10） 对应的 Z 值
从这个区域到表格的空白边距，你会发现具体Z行（-1.2）和Z列（.08）对应的Z值是1.28（见图）。
找到 Z 后，可以使用公式确定 X 值。
替换 u = 7，σ = 2，Z = -1.28
X = u + Zσ
X = 7 + （-1.28）（2） = 4.44 秒
因此，10% 的下载时间为 4.44 秒或更短。
示例 5：查找包含 95% 下载时间的 X 值。
X的下限和上限是多少，它对称分布在平均值周围，包括网站上视频下载时间的95%？
解决方案：首先，您需要找到 X 的较低值（称为 XL）。然后，找到 X 的上限值（称为 Xu），因为 95% 的值在 XL 和 Xu 之间，而 XL 和 XU 与平均值的距离相等，因此 2.5% 的值低于 XL（见图）。
虽然 X 未知，但您可以找到相应的 Z 值，因为曲线下的面积小于此 Z 的值为 0.0250。使用该表搜索概率 0.0250。
从表体到
在表格的边距中，您会看到对应于特定 Z 行 （-1.9） 和 Z 列 （.06） 的 Z 值为 -1.96。
找到 Z 后，最后一步是按如下方式使用公式：
您可以使用类似的过程来查找 X。由于只有 2.5% 的视频花费的时间超过 Xu 秒，因此 97.5% 的视频下载时间都比 Xu 秒短。从正态分布的对称性中，您会发现所需的 Z 值（如图所示）为 +1.96（因为 Z 位于标准化平均值 0 的右侧）。您也可以从表中提取此 Z 值。您可以看到曲线下的面积小于 Z 值 +1.96，即 0.975。
因此，95% 的下载时间在 3.08 到 10.92 秒之间。
您可以使用 Excel 计算 1 个正态概率，而不是在表中查找累积概率。该图显示了一个工作表，该工作表计算正态概率并查找示例 1 到 5 中类似问题的 X 值。
